3.31 \(\int \frac{\text{csch}^3(c+d x)}{a+b \tanh ^2(c+d x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=85 \[ \frac{(a+2 b) \tanh ^{-1}(\cosh (c+d x))}{2 a^2 d}-\frac{\sqrt{b} \sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \text{sech}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{a^2 d}-\frac{\coth (c+d x) \text{csch}(c+d x)}{2 a d} \]

[Out]

((a + 2*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b
]])/(a^2*d) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.118728, antiderivative size = 85, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.217, Rules used = {3664, 471, 522, 207, 208} \[ \frac{(a+2 b) \tanh ^{-1}(\cosh (c+d x))}{2 a^2 d}-\frac{\sqrt{b} \sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \text{sech}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{a^2 d}-\frac{\coth (c+d x) \text{csch}(c+d x)}{2 a d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csch[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2),x]

[Out]

((a + 2*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b
]])/(a^2*d) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d)

Rule 3664

Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Sec[e + f*x], x]}, Dist[1/(f*ff^m), Subst[Int[((-1 + ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a - b + b*ff^2*x^2)^p)/x^(
m + 1), x], x, Sec[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 471

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e^(n -
1)*(e*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] - Dist[e^n/(n*(b*c -
a*d)*(p + 1)), Int[(e*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(m - n + 1) + d*(m + n*(p + q + 1)
+ 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GeQ[n
, m - n + 1] && GtQ[m - n + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 522

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Dist[(b*e - a*f
)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*x^n), x], x] - Dist[(d*e - c*f)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e, f, n}, x]

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\text{csch}^3(c+d x)}{a+b \tanh ^2(c+d x)} \, dx &=-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^2}{\left (-1+x^2\right )^2 \left (a+b-b x^2\right )} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{d}\\ &=-\frac{\coth (c+d x) \text{csch}(c+d x)}{2 a d}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{a+b+b x^2}{\left (-1+x^2\right ) \left (a+b-b x^2\right )} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{2 a d}\\ &=-\frac{\coth (c+d x) \text{csch}(c+d x)}{2 a d}-\frac{(b (a+b)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b-b x^2} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{a^2 d}-\frac{(a+2 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1+x^2} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{2 a^2 d}\\ &=\frac{(a+2 b) \tanh ^{-1}(\cosh (c+d x))}{2 a^2 d}-\frac{\sqrt{b} \sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \text{sech}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{a^2 d}-\frac{\coth (c+d x) \text{csch}(c+d x)}{2 a d}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 0.638159, size = 170, normalized size = 2. \[ -\frac{8 i \sqrt{b} \sqrt{a+b} \tan ^{-1}\left (\frac{-\sqrt{a} \tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )-i \sqrt{a+b}}{\sqrt{b}}\right )+8 i \sqrt{b} \sqrt{a+b} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )-i \sqrt{a+b}}{\sqrt{b}}\right )+a \text{csch}^2\left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )+a \text{sech}^2\left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )+4 a \log \left (\tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )\right )+8 b \log \left (\tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )\right )}{8 a^2 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Csch[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2),x]

[Out]

-((8*I)*Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*ArcTan[((-I)*Sqrt[a + b] - Sqrt[a]*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[b]] + (8*I)*Sqrt[b]*Sqr
t[a + b]*ArcTan[((-I)*Sqrt[a + b] + Sqrt[a]*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[b]] + a*Csch[(c + d*x)/2]^2 + 4*a*Log[Tanh
[(c + d*x)/2]] + 8*b*Log[Tanh[(c + d*x)/2]] + a*Sech[(c + d*x)/2]^2)/(8*a^2*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.077, size = 181, normalized size = 2.1 \begin{align*}{\frac{1}{8\,da} \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) \right ) ^{2}}-{\frac{b}{da}{\it Artanh} \left ({\frac{1}{4} \left ( 2\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}a+2\,a+4\,b \right ){\frac{1}{\sqrt{ab+{b}^{2}}}}} \right ){\frac{1}{\sqrt{ab+{b}^{2}}}}}-{\frac{{b}^{2}}{d{a}^{2}}{\it Artanh} \left ({\frac{1}{4} \left ( 2\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}a+2\,a+4\,b \right ){\frac{1}{\sqrt{ab+{b}^{2}}}}} \right ){\frac{1}{\sqrt{ab+{b}^{2}}}}}-{\frac{1}{8\,da} \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) \right ) ^{-2}}-{\frac{1}{2\,da}\ln \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) \right ) }-{\frac{b}{d{a}^{2}}\ln \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) \right ) } \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csch(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2),x)

[Out]

1/8/d/a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2-1/d/a*b/(a*b+b^2)^(1/2)*arctanh(1/4*(2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+2*a+4*b)/(a*b+b^2
)^(1/2))-1/d*b^2/a^2/(a*b+b^2)^(1/2)*arctanh(1/4*(2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+2*a+4*b)/(a*b+b^2)^(1/2))-1/8/d/a/
tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2-1/2/d/a*ln(tanh(1/2*d*x+1/2*c))-1/d/a^2*b*ln(tanh(1/2*d*x+1/2*c))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} -\frac{e^{\left (3 \, d x + 3 \, c\right )} + e^{\left (d x + c\right )}}{a d e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} - 2 \, a d e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + a d} + \frac{{\left (a + 2 \, b\right )} \log \left ({\left (e^{\left (d x + c\right )} + 1\right )} e^{\left (-c\right )}\right )}{2 \, a^{2} d} - \frac{{\left (a + 2 \, b\right )} \log \left ({\left (e^{\left (d x + c\right )} - 1\right )} e^{\left (-c\right )}\right )}{2 \, a^{2} d} + 8 \, \int \frac{{\left (a b e^{\left (3 \, c\right )} + b^{2} e^{\left (3 \, c\right )}\right )} e^{\left (3 \, d x\right )} -{\left (a b e^{c} + b^{2} e^{c}\right )} e^{\left (d x\right )}}{4 \,{\left (a^{3} + a^{2} b +{\left (a^{3} e^{\left (4 \, c\right )} + a^{2} b e^{\left (4 \, c\right )}\right )} e^{\left (4 \, d x\right )} + 2 \,{\left (a^{3} e^{\left (2 \, c\right )} - a^{2} b e^{\left (2 \, c\right )}\right )} e^{\left (2 \, d x\right )}\right )}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2),x, algorithm="maxima")

[Out]

-(e^(3*d*x + 3*c) + e^(d*x + c))/(a*d*e^(4*d*x + 4*c) - 2*a*d*e^(2*d*x + 2*c) + a*d) + 1/2*(a + 2*b)*log((e^(d
*x + c) + 1)*e^(-c))/(a^2*d) - 1/2*(a + 2*b)*log((e^(d*x + c) - 1)*e^(-c))/(a^2*d) + 8*integrate(1/4*((a*b*e^(
3*c) + b^2*e^(3*c))*e^(3*d*x) - (a*b*e^c + b^2*e^c)*e^(d*x))/(a^3 + a^2*b + (a^3*e^(4*c) + a^2*b*e^(4*c))*e^(4
*d*x) + 2*(a^3*e^(2*c) - a^2*b*e^(2*c))*e^(2*d*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.6513, size = 4872, normalized size = 57.32 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/2*(2*a*cosh(d*x + c)^3 + 6*a*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + 2*a*sinh(d*x + c)^3 - (cosh(d*x + c)^4 + 4*co
sh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + sinh(d*x + c)^4 + 2*(3*cosh(d*x + c)^2 - 1)*sinh(d*x + c)^2 - 2*cosh(d*x + c)^2
+ 4*(cosh(d*x + c)^3 - cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + 1)*sqrt(a*b + b^2)*log(((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a +
b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a + 3*b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(
d*x + c)^2 + a + 3*b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + (a + 3*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) -
4*(cosh(d*x + c)^3 + 3*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + sinh(d*x + c)^3 + (3*cosh(d*x + c)^2 + 1)*sinh(d*x + c)
+ cosh(d*x + c))*sqrt(a*b + b^2) + a + b)/((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3
+ (a + b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a - b)*sinh(d*x + c)^2
+ 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + (a - b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + a + b)) + 2*a*cosh(d*x + c) - ((a + 2*b)
*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + 2*b)*sinh(d*x + c)^4 - 2*(a + 2*b)*cosh(d*
x + c)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(d*x + c)^2 - a - 2*b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + 2*b)*cosh(d*x + c)^3 - (a + 2*b
)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + a + 2*b)*log(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c) + 1) + ((a + 2*b)*cosh(d*x + c)^4
+ 4*(a + 2*b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + 2*b)*sinh(d*x + c)^4 - 2*(a + 2*b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(
a + 2*b)*cosh(d*x + c)^2 - a - 2*b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + 2*b)*cosh(d*x + c)^3 - (a + 2*b)*cosh(d*x + c))*
sinh(d*x + c) + a + 2*b)*log(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c) - 1) + 2*(3*a*cosh(d*x + c)^2 + a)*sinh(d*x + c))/(
a^2*d*cosh(d*x + c)^4 + 4*a^2*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + a^2*d*sinh(d*x + c)^4 - 2*a^2*d*cosh(d*x + c)^
2 + a^2*d + 2*(3*a^2*d*cosh(d*x + c)^2 - a^2*d)*sinh(d*x + c)^2 + 4*(a^2*d*cosh(d*x + c)^3 - a^2*d*cosh(d*x +
c))*sinh(d*x + c)), -1/2*(2*a*cosh(d*x + c)^3 + 6*a*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + 2*a*sinh(d*x + c)^3 + 2*(c
osh(d*x + c)^4 + 4*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + sinh(d*x + c)^4 + 2*(3*cosh(d*x + c)^2 - 1)*sinh(d*x + c)^2
- 2*cosh(d*x + c)^2 + 4*(cosh(d*x + c)^3 - cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + 1)*sqrt(-a*b - b^2)*arctan(1/2*((a
+ b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + (a + b)*sinh(d*x + c)^3 + (a - 3*b)*cosh(d*x
+ c) + (3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a - 3*b)*sinh(d*x + c))*sqrt(-a*b - b^2)/(a*b + b^2)) - 2*(cosh(d*x + c)^4
+ 4*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + sinh(d*x + c)^4 + 2*(3*cosh(d*x + c)^2 - 1)*sinh(d*x + c)^2 - 2*cosh(d*x
+ c)^2 + 4*(cosh(d*x + c)^3 - cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + 1)*sqrt(-a*b - b^2)*arctan(1/2*sqrt(-a*b - b^2)*(
cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c))/b) + 2*a*cosh(d*x + c) - ((a + 2*b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(d*x + c)
*sinh(d*x + c)^3 + (a + 2*b)*sinh(d*x + c)^4 - 2*(a + 2*b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(d*x + c)^2 -
a - 2*b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + 2*b)*cosh(d*x + c)^3 - (a + 2*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + a + 2*b)*lo
g(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c) + 1) + ((a + 2*b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3
+ (a + 2*b)*sinh(d*x + c)^4 - 2*(a + 2*b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(d*x + c)^2 - a - 2*b)*sinh(d*x
+ c)^2 + 4*((a + 2*b)*cosh(d*x + c)^3 - (a + 2*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + a + 2*b)*log(cosh(d*x + c) +
sinh(d*x + c) - 1) + 2*(3*a*cosh(d*x + c)^2 + a)*sinh(d*x + c))/(a^2*d*cosh(d*x + c)^4 + 4*a^2*d*cosh(d*x + c
)*sinh(d*x + c)^3 + a^2*d*sinh(d*x + c)^4 - 2*a^2*d*cosh(d*x + c)^2 + a^2*d + 2*(3*a^2*d*cosh(d*x + c)^2 - a^2
*d)*sinh(d*x + c)^2 + 4*(a^2*d*cosh(d*x + c)^3 - a^2*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\operatorname{csch}^{3}{\left (c + d x \right )}}{a + b \tanh ^{2}{\left (c + d x \right )}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)**3/(a+b*tanh(d*x+c)**2),x)

[Out]

Integral(csch(c + d*x)**3/(a + b*tanh(c + d*x)**2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [C]  time = 1.82166, size = 7173, normalized size = 84.39 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2),x, algorithm="giac")

[Out]

1/4*(2*(3*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arc
cos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos
(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*co
sh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 9*(
2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^
3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_pa
rt(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(2*a^3*b^2 + 4*a
^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)
)))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*s
inh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 -
a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^
4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*r
eal_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (2*a^3*b^2 +
4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - (2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b +
a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arcco
s(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + (2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*s
in(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan(
(((a^3 + a^2*b)/(a^3*e^(4*c) + a^2*b*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) + e^(d*x))/(((a^3 + a^2
*b)/(a^3*e^(4*c) + a^2*b*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))))/(a^5*b + 2*a^4*b^2 + a^3*b^3) + 2
*(3*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a
/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b)))) - (2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cosh(1/2
*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 9*(2*a^3*
b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(
a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b +
a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arc
cos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3
+ 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*
cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/
2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3
- b^4)*sqrt(-a*b))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a
^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_pa
rt(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (2*a^3*b^2 + 4*a^2
*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))
)^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - (2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^
2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(
a + b) + b/(a + b)))) + (2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*sin(1/2
*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan(-(((a^
3 + a^2*b)/(a^3*e^(4*c) + a^2*b*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) - e^(d*x))/(((a^3 + a^2*b)/(
a^3*e^(4*c) + a^2*b*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))))/(a^5*b + 2*a^4*b^2 + a^3*b^3) + ((2*a^
3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 +
(a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_p
art(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^3*b^2 + 4
*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)
))) + 9*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arcco
s(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/
(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*
b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/
2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(2*a^3*
b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - (2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^
2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arcco
s(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b
))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin
h(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - (2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b
^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b)))) + (2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_p
art(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*log(2*((a^3 + a^2*b)
/(a^3*e^(4*c) + a^2*b*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^3 + a^2*b)/(a^3*e^(4
*c) + a^2*b*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(a^5*b + 2*a^4*b^2 + a^3*b^3) - ((2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b
+ a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(a
rccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(
-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^
3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2
- a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/
(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*
b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*
imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*ima
g_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)
*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b +
a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arcco
s(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/
(a + b) + b/(a + b))))^2 - (2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(
1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(2*
a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b
) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b
/(a + b))))^3 - (2*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_pa
rt(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + (2*a^3*b^2 + 4*a^2*b
^3 + 2*a*b^4 + (a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 - b^4)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*
sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*log(-2*((a^3 + a^2*b)/(a^3*e^(4*c) + a^2*b*e^(4*c)))^(1/4
)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^3 + a^2*b)/(a^3*e^(4*c) + a^2*b*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(
a^5*b + 2*a^4*b^2 + a^3*b^3) + 2*(a*e^c + 2*b*e^c)*e^(-c)*log(e^(d*x + c) + 1)/a^2 - 2*(a*e^c + 2*b*e^c)*e^(-c
)*log(abs(e^(d*x + c) - 1))/a^2 - 4*(e^(3*d*x + 3*c) + e^(d*x + c))/(a*(e^(2*d*x + 2*c) - 1)^2))/d